本書依據普通本科教育“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，精選教材內容。

本書從實際應用和后續專業課的需要出發，加強數學思想和數學概念與工程實際結合的特點，課程內容按照由淺入深，由具體到抽象，由特殊到一般的原則組織。

本書每章都有學習目標、小結、復習題、自測題等，便于學生總結學習內容和學習方法，鞏固所學知識。

我國高等教育正在快速發展，教材建設也要與之適應，特別是教育部關于“高等教育面向21世紀內容與課程改革”計劃的實施，對教材建設提出了新的要求。本書的編寫目的就是為了適應高等教育的快速發展，滿足教學改革和課程建設的需求，體現高等工科教育的特點。

本書依據普通本科教育“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，精心選擇了教材的內容，結合從實際應用和學生學習后續專業課的需要出發，加強數學思想和數學概念與工程實際結合的特點，課程內容按照由淺入深，由具體到抽象，由特殊到一般的原則來組織，每章都有學習目標、小結、習題、自測題等，便于學生總結學習內容和學習方法，鞏固所學知識。

全書內容包括：復數與復變函數、復變函數的極限與連續性，復變函數的導數、解析函數、初等解析函數，復變函數的積分，復變函數的冪級數和羅倫級數，留數與留數定理，傅立葉變換和拉普拉斯變換等。書后附有傅立葉變換表與拉普拉斯變換表，以及習題、自測題參考答案或提示。

本書既可作為理工科大學“復變函數與積分變換”課程的教材，也可供工程技術人員參考使用。

本書由翟秀娜擔任主編并統稿，張翠蓮擔任副主編。各章編寫分工如下：復變函數由翟秀娜編寫，積分變換及書后附錄由張翠蓮編寫。何春江、王曉威、鄧鳳茹、張文治、張欽禮、牛莉、曾大有等同志參加了本書編寫的討論及校對工作。

在本書的編寫過程中，編者參考了很多相關的書籍和資料，采用了一些相關內容，汲取了很多同仁的寶貴經驗，在此謹表謝意。

由于時間的倉促及作者水平所限，書中錯誤和不足之處在所難免，懇請廣大讀者批評指正，我們將不勝感激。

編 者

2015年12月

第1篇 復變函數
第1章 復數與復變函數 1
本章學習目標 1
1.1 復數及其運算 1
1.1.1 復數的概念 1
1.1.2 復數的表示 2
1.1.3 復數的運算 5
1.1.4 復數的乘方與方根 6
1.2 平面點集與區域 8
1.2.1 復平面上的點集與區域 8
1.2.2 單連通域與多（復）連通域 10
1.3 復變函數 11
1.3.1 復變函數的概念 11
1.3.2 映射的概念 12
1.3.3 反函數與復合函數 13
1.4 復變函數的極限與連續性 14
1.4.1 復變函數的極限 14
1.4.2 復變函數的連續 15
本章小結 16
習題一 17
自測題一 18
第2章 解析函數 20
本章學習目標 20
2.1 復變函數的導數與微分 20
2.1.1 復變函數的導數 20
2.1.2 復變函數的微分 23
2.2 解析函數 24
2.2.1 解析函數的概念及其運算 24
2.2.2 柯西—黎曼條件 25
2.2.3 函數解析的充要條件 26
2.3 調和函數 28
2.3.1 調和函數 28
2.3.2 解析函數與調和函數的關系 28
2.4 初等函數及其解析性 30
2.4.1 指數函數 30
2.4.2 對數函數 31
2.4.3 冪函數 32
2.4.4 三角函數 33
2.4.5 反三角函數 35
*2.4.6 雙曲函數與反雙曲函數 35
本章小結 36
習題二 38
自測題二 39
第3章 復變函數的積分 40
本章學習目標 40
3.1 復變函數的積分 40
3.1.1 復變函數積分的概念 40
3.1.2 積分的存在性及其計算方法 41
3.1.3 積分的性質 43
3.2 積分基本定理 45
3.2.1 柯西—古薩（Cauchy-Goursat）基本定理 45
3.2.2 原函數與不定積分 45
3.2.3 基本定理的推廣—復合閉路定理 47
3.3 柯西積分公式 48
3.4 解析函數的高階導數 50
本章小結 51
習題三 52
自測題三 53
第4章 級數 55
本章學習目標 55
4.1 復數項級數與復函數項級數 55
4.1.1 復數項級數的概念 55
4.1.2 復數項級數的性質 56
4.1.3 復函數項級數 56
4.2 冪級數 57
4.2.1 冪級數的概念 57
4.2.2 收斂圓與收斂半徑 57
4.2.3 冪級數在其收斂圓內的性質 59
4.3 泰勒級數 59
4.3.1 解析函數的泰勒展開式 59
4.3.2 初等函數的泰勒展開式 60
4.4 羅倫級數 61
4.5 孤立奇點 64
4.5.1 孤立奇點的概念及其分類 64
4.5.2 函數的零點與極點的關系 66
本章小結 67
習題四 68
自測題四 68
第5章 留數 70
本章學習目標 70
5.1 留數的概念及基本定理 70
5.1.1 留數的概念 70
5.1.2 留數定理 71
*5.1.3 在無窮遠點的留數 75
5.2 留數在定積分計算中的應用 76
本章小結 78
習題五 79
自測題五 79
第2篇 積分變換
第6章 傅立葉變換 81
本章學習目標 81
6.1 傅立葉積分 82
6.1.1 主值意義下的廣義積分 82
6.1.2 傅氏積分存在定理 83
6.2 傅立葉變換 84
6.2.1 傅立葉變換的概念 84
6.2.2 傅氏變換的物理意義—頻譜 87
6.3 δ函數及其傅立葉變換 89
6.3.1 函數的定義 90
6.3.2 函數的性質 92
6.3.3 函數的傅立葉變換 93
6.3.4 一些常見函數的傅氏變換和一些傅氏變換對 94
6.4 傅立葉變換的性質 96
6.4.1 線性性質 96
6.4.2 對稱性質 97
6.4.3 相似性質 98
6.4.4 平移性質 98
6.4.5 微分性質 102
6.4.6 積分性質 103
6.4.7 傅氏變換的卷積與卷積定理 103
本章小結 105
習題六 107
自測題六 109
第7章 拉普拉斯變換 110
本章學習目標 110
7.1 拉普拉斯變換 110
7.1.1 拉普拉斯變換的概念 110
7.1.2 拉普拉斯變換存在定理 111
7.1.3 一些常用函數的拉普拉斯變換 111
7.1.4 拉普拉斯變換的下限問題 113
7.1.5 周期函數的拉普拉斯變換 114
7.2 拉普拉斯變換的基本性質 115
7.2.1 線性性質 115
7.2.2 相似性質 116
7.2.3 平移性質 117
7.2.4 微分性質 120
7.2.5 積分性質 121
7.2.6 拉氏變換的卷積與卷積定理 123
7.3 拉普拉斯逆變換 124
7.3.1 利用拉普拉斯變換表和性質求拉普拉斯逆變換 125
7.3.2 利用留數定理求拉氏逆變換 127
7.4 拉普拉斯變換的應用 128
7.4.1 常系數線性微分方程的拉普拉斯變換解法 128
7.4.2 線性系統的傳遞函數 130
本章小結 132
習題七 133
自測題七 137
附錄1 習題與自測題參考答案或提示 139
附錄2 變換簡表 150
參考文獻 160

1. 信息技術基礎（麒麟操作系統+WPS Office） [主編　芮雪　蔣莉　王亮亮]
2. Office高級應用項目式教程（第2版） [主編 李觀金 張倩文 黎夏克 ]
3. 巧用翻譯學英語：英漢互譯500例 [王學文 著]
4. 高等教育多維評價體系構建與高質量發展研究 [張妍 著]
5. 系統規劃與管理師章節習題與考點特訓（第二版） [主編 薛大龍]
6. 計算機操作系統實踐指導（openEuler版） [主編 秦光 曾陳萍 岳付強]
7. 信息系統管理工程師真題及模考卷精析（適用機考） [主 編 薛大龍 程 剛 上官緒]
8. 航海類院校體育教育教學研究 [張利超 李寧 著]
9. 新時代背景下我國職業教育產教融合長效機制建設研究 [王玉賢 著]
10. 電路分析 [主編 李飛 毛先柏]
11. 信息系統管理工程師（適用第2版大綱）一站通關 [指尖瘋　編著]
12. 傳統山水畫論解讀與實踐 [陳鈉 著]
13. 網絡工程師備考一本通（適配第6版考綱） [夏杰 編著]
14. 陳孝云的職教理想與情懷 [祝吉太 江傳瑞 張義廷 著]
15. 地方本科院校電子信息學科課程思政案例集 [王甫]
16. Excel數據處理與分析（第二版） [主編 張志明 鄒 蕾]
17. 網絡工程師5天修煉（適配第6版考綱） [主編　朱小平 施游]
18. 倉儲管理實務（第二版） [周寧武 編著]
19. 基于AE與C#的地理信息系統二次開發 [李小根 賈艷昌 喬翠平 姜彤 ]
20. 2023年長沙市文化和旅游業發展報告 [主編 陳莉]
21. 舞臺化妝造型設計 [主編 劉思彤 張 濤 張憶雨]
22. 產教融合視角高校體育專業實踐教學體系構建研究 [楊柳青 葉華兵 著]
23. 知識圖譜及應用案例 [張善文 黃文準 于長青 陳明淑]
24. Python程序設計案例教程（微課版） [主編　石利平　田輝平　余以勝]
25. 皓月繁星：青少年兒童心理成長手冊 [主　編　林贊歌 副主編　杜志南]
26. 材料力學 [章寶華 趙新勝 徐斌]
27. 系統集成項目管理工程師考試32小時通關（第3版） [主編　薛大龍 副主編　上官緒陽]
28. 軟考論文高分特訓與范文10篇——系統分析師（第二版） [薛大龍 鄒月平 施游]
29. 黃河海勃灣水利樞紐防凌安全運行 [王戰領 王叢發 范瑜彬 著]
30. 大學生心理健康教育 [方雄 著]